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Comenzó su carrera como futbolista profesional en el Cruz Azul, club donde jugaría la mayor parte de su carrera, y viviría la época dorada del cuadro cementero. No obstante, siempre sería el eterno suplente de Miguel Marín, la gran figura en el marco azul y por tanto, sus participaciones como jugador en activo fueron escasas.

Sin embargo, el estar tanto tiempo en la banca le ayudó a analizar los partidos fuera de la cancha, y sin duda esto fue determinante para su carrera como entrenador. Finalizaría su carrera profesional con los Tigres de la UANL.

Como Entrenador

Curiosamente, iniciaría su carrera como entrenador sustituyendo en el cargo a Miguel Marín en 1982. Cuando el ''Superman'' fue inhabilitado por un año para dirigir al Cruz Azul por una agresión a un árbitro, Meza -quien se desempeñaba como auxiliar- entró al relevo y finalizó la temporada con medianos resultados. Posteriormente se integraría al seno de la institución cementera encargándose de aspectos de formación de jugadores.

Diez años después -en 1992- Meza tendría una nueva oportunidad de dirigir, nuevamente con Cruz Azul; teniendo temporadas aceptables pero sin llegar al ansiado título de Liga. Sería relevado en la temporada 1994-95 por Luis Fernando Tena.

El torneo siguiente entraría como relevo para salvar del descenso al Monarcas Morelia, Morelia, objetivo que consiguió. Pero no fue sino hasta 1996 cuando comenzó a mostrar todo su potencial como director técnico. Su nuevo equipo, Toros Neza se distinguió por ser un equipo espectacular y ofensivo y teniendo bajo su mando a grandes jugadores como Antonio Mohamed, Rodrigo Ruiz, Federico Lussenhoff, Germán Arangio, entre otros. El equipo llegó a la final del Verano 1997, pero la perdió ante las Club Deportivo Guadalajara, Chivas del Guadalajara por marcador de 6 a 1 en la vuelta, después de haber empatado a uno en la ida.

Después de haber perdido esta final, deja el cargo y pone un anuncio en un periódico solicitando trabajo como entrenador. El Deportivo Toluca, Toluca se interesa por sus servicios y lo contrata con excelentes resultados y un futbol devastador. Meza condujo al club rojo a tres títulos de Liga: Verano 1998, Verano 1999 y Verano 2000, en apenas un lapso de tres años. Con el Toluca tendría a su cargo grandes figuras como José Saturnino Cardozo, Hernán Cristante, Salvador Carmona, Víctor Ruiz del Valle y José Manuel Abundis.

Este gran paso con el Deportivo Toluca lo catapultó a la Selección de fútbol de México, la cual tomaría en el año 2000. Sin embargo, su rendimiento dejó mucho que desear y tan fue así que puso en entredicho el pase al Copa Mundial de Fútbol de 2002, teniendo que ser sustituido por Javier Aguirre.

Después de malas campañas con el Atlas de Guadalajara, Cruz Azul y el Deportivo Toluca, sería contratado por el Club de Fútbol Pachuca para el torneo Apertura 2006, donde tuvo un pésimo arranque al hilar cinco derrotas consecutivas. Pero la directiva de los ''Tuzos'' lo sostuvo en el cargo, el equipo se recuperó y al final terminó ganando la Copa Sudamericana 2006 al Colo-Colo y llegó a semifinales en el torneo local.

El 2007 ha sido un gran año para el ''Ojitos'', ya que ganó el Torneo de Liga Clausura 2007 de manera categórica, y obtuvo la Copa de Campeones de la CONCACAF al vencer en la final al Club Deportivo Guadalajara en serie de penales.

Enrique Meza ha demostrado su capacidad como técnico, al grado de ser el cuarto sitio en rendimiento de los entrenadores de la Primera división mexicana.